ロケットの運動方程式

物理の問題で「燃料を噴射しながら加速するロケットの運動方程式」の求め方が分からなかったのでメモ.

※解き方が間違っているかもしれません.

 

問題

ロケットが燃料を噴射しながら直線上を加速度運動する.ロケットの質量はm(t),速度はv(t)で表され,それぞれ時間tの関数である.また,燃料の噴射速度はロケットを基準とした相対速度でロケットと逆向きにu(t)である.このときのロケットの運動方程式を求めよ.

 

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場面1

時刻tに質量mのロケットが速度vで運動している.

1と2の間

質量-dm (dm<0)の燃料が相対速度uで噴射される.

場面2

時刻t+dtに質量m+dm (dm<0)のロケットが速度v+dvで運動している.

 

方針

ロケットの運動量変化量が噴射した運動量に等しいことから立式し,運動方程式を求める.

 

計算

場面1での運動量Pは

{ \displaystyle P = m\times v }

場面2での運動量P+dPは

{ \displaystyle P+dP = (m+dm)\times (v+dv) }

この2式から運動量の変化量dPは

{ \displaystyle dP = mdv+vdm+dmdv = mdv+vdm }

ここでdmdvは高次の微小項であるので0とした.

 

噴射した燃料の運動量は-dPであるので,

{ \displaystyle -dP = -dm(v+kdv-u) }

 ここで速度は相対速度ではなくロケットと同じ基準とする.kは(0<k<1)をみたす定数で,噴射時の速度はvより大きくv+dvより小さいためこのように表される.

高次の微小項を0として整理すると

{ \displaystyle dP = vdm-udm }

先ほど求めたdPと連立させて解くと

{ \displaystyle mdv = -udm }

両辺をdtで割って

 { \displaystyle m\frac{dv}{dt} = -u\frac{dm}{dt} }

となり運動方程式が得られる.

 

※ここで { \displaystyle -\frac{dm}{dt} }はプラスであり,単位時間に噴射する燃料の質量を表す.

 

追記

単純に運動方程式

{ \displaystyle \frac{d(mv)}{dt}=(v-u)\frac{dm}{dt} }

として,

{ \displaystyle m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}=v\frac{dm}{dt}-u\frac{dm}{dt} }

{ \displaystyle m\frac{dv}{dt}=-u\frac{dm}{dt} }

でいいかもしれない.